Investigación

EXPERIENCIA EN INVESTIGACIÓN - ACCIÓN TÉCNICA.

“EL PASO DEL INFINITO POTENCIAL AL INFINITO ‘COMO UN TODO’ PARA APRENDER LA CONSTRUCCIÓN DE LOS CONJUNTOS INFINITOS”

 

Carmen María Valdivé Fernández

Universidad Centroccidental “Lisandro Alvarado”

Barquisimeto – Edo. Lara. Venezuela

E-mail: valfer16@yahoo.com

 

 

Contenido

-        Resumen

-        Introducción

-        Desarrollo

-        Procedimiento

-        Conclusiones

-        Referencias Bibliográficas

 

Resumen

 

            La experiencia del docente de matemática en los diferentes niveles del sistema educativo venezolano, así como la incorporación de estos profesores a grupos de investigación, nos hacen repensar el papel crucial que éstos representan en la relación teoría-praxis-investigación en tema tan neurálgico como lo es la enseñanza y aprendizaje de los conjuntos infinitos, puesto que involucra el “corazón de la matemática”: el infinito (Valdivé, 2003; Garbin y Azcárate, 1999, Arrigo y D’Amore, 1998). Concepto que ha tenido una larga y dramática historia en la filosofía y en la matemática (Fischbein, 1998; Ortiz, 1994) pero que a su vez es la noción que más la ha enriquecido. Por tal razón se presenta esta experiencia de carácter fenomenológico (Carr y Kemmis, 1988), la cual tuvo como objetivo describir, analizar e interpretar las acciones de 15 profesores de matemática, correspondientes al programa de Postgrado Especialización en Didáctica de las Matemáticas de la Universidad Valle del Momboy, que funciona en la ciudad de Valera, estado Trujillo, los cuales utilizaron la investigación-acción-técnica (Habermas,1971; Lokpez, 2001). La experiencia estuvo orientada hacia el estudio del docente como investigador, capaz de analizar reflexivamente su entorno, identificar sus necesidades y buscar estrategias de solución sobre situaciones en Educación Matemática, surgidos de problemas cotidianos en el aula de clases: la construcción de los conjuntos infinitos a la luz la teoría cantoriana. Los resultados se enfocaron en 2 dimensiones: a) El papel del profesor y sus modelos mentales, b) La ideología del profesor en las prácticas escolares.

 

Palabras clave: investigación acción técnica, conjuntos infinitos, teoría cantoriana, infinito matemático.

 

 

Introducción

 

La labor docente del profesor de matemática es particularmente investigativa por las características propias del saber que se enseña y por la gama de estrategias que el profesor utiliza cuando aborda una temática en especial. Estrategias que se corresponden muchas veces a su experiencia, a las literaturas de trabajos de investigación o bien, a las que los libros y programas le sugieren. En virtud de sus expectativas como investigador, el profesor de matemática, al inscribirse en programas de maestría, busca enriquecer su repertorio tratando de mejorar su praxis, encontrando, muchas veces, que esa praxis no va emparejada con su teoría ni con los niveles de actuación de la Educación Matemática: cultural, social, institucional, pedagógico e individual como bien lo repara Bishop, 1999 (citado por Mora, D., 2002) y que repercuten indudablemente en los procesos de enseñanza-aprendizaje. Por tal motivo, la experiencia que se presenta en este trabajo, recoge las actividades realizadas por un conjunto de 15 profesores involucrados como coinvestigadores, al abordar la temática sobre la construcción de los conjuntos infinitos desde la modalidad de la investigación-acción-técnica, la cual  tiene como propósitos generales diseñar y aplicar un plan de intervención que sea eficaz en la mejora de habilidades profesionales y en la resolución de problemas prácticos produciendo con ello un saber instrumental ( Carr y Kemmis, 1988).

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Desarrollo

 

Para abordar la experiencia, se consideró asumir un enfoque de investigación acción: la técnica, por ser un proceso de investigación cíclico de exploración, actuación y valoración de  resultados, en consecuencia, es una forma de entender la enseñanza y no solo una manera de investigar, debe ser un proceso de investigación social, en el cual todos los participantes estén implicados en la toma de decisiones.  En este trabajo, los implicados fueron el investigador “principal” (observador participante), los coinvestigadores (los 15 profesores de matemática), los estudiantes de los diferentes planteles donde laboran los coinvestigadores y los directores de esos planteles.

 

La metodología se centró en la recopilación de información utilizando entrevistas, observación participante y no participante, narración profesional e informes de ejecución de las clases (crónica de la lección: desde el profesor, desde el alumno y desde el proceso enseñanza-aprendizaje).

 

 

Procedimiento

 

Los 15 profesores conformaron grupos de investigación y de actuación. En cada grupo existía el profesor que impartía el plan de clase y dos observadores. El proceso investigación acción técnica se llevó a cabo cumpliendo los ciclos y las fases de cada ciclo que utiliza la investigación acción:

 

Primer ciclo

Fase diagnóstica

 

Se promovió un diálogo entre los 15 coinvestigadores y la investigadora principal. El diálogo versaba sobre la pregunta ¿qué estrategias o actividades y conceptos involucran ustedes como profesores de matemáticas, al construir con sus alumnos los conjuntos infinitos? Para el análisis de las narrativas profesionales, se utilizó la estrategia de las comparaciones constantes, diseñada por Glaser y Strauss, 1967 (citados por Goetz y LeCompte, 1988), pues combina las codificaciones de categorías inductivas con un proceso simultáneo de comparación. Las categorías obtenidas se orientaron en dos direcciones: a) Conceptos matemáticos  y b) Actividades y prácticas.

      

Para el conjunto infinito: N

 

 

Para el conjunto infinito: Z

 

 

Para el conjunto infinito: Q

 

 

Para el conjunto: R

 

 

 

Interpretación de la diagnosis

 

a.- Los profesores utilizan elementos de la teoría conjuntista como un contenido que no aparece   como objetivo explícito de enseñanza en los programas escolares (currículo oculto).

b.- Los profesores no hacen mención en sus diálogos, sobre por qué N, Z, Q y R son conjuntos infinitos.

c.- Los profesores no se expresan en sus diálogos, acerca de la representación de cada conjunto en la recta numérica y de cómo se van incorporando nuevos elementos a medida que se van introduciendo otros conjuntos numéricos.

 

Se reflexionó en torno a esos resultados a fin de tomar decisiones y elaborar un Plan de Acción con todos los involucrados, el cual se detalla a continuación:

 

1.      Revisar los programas de Básica, Media, Diversificada y Superior (Matemática I).

2.      Revisión bibliográfica acerca de la manera de construir los conjuntos infinitos bajo la mirada de la Teoría Cantoriana, propuesta por: Tirosh, D. (1991) y Arrigo y D’Amore (1998)

3.      Revisión histórica del desarrollo del concepto infinito matemático.

4.      Diseñar una Estrategia de Enseñanza, adaptarla y exponerla para construir un conjunto infinito, tomando en cuenta la revisión de la literatura, el grado o año escolar, el tiempo, el contexto y la diagnosis.

5.      La investigadora principal, modelizó la Teoría Cantoriana desde la perspectiva de Tirosh, D. (1991) como un paso al infinito “actual” y demostró los dos teoremas de Cantor, propuestos por Arrigo y D’Amore (1998).

 

Fase de ejecución o acción

 

Los 15 profesores de matemática desarrollaron su estrategia de acción en las aulas de clases, una vez que fue revisada y expuesta ante la investigadora principal. En esta fase, los docentes además de ejecutar su plan de clases bajo la teoría de las Situaciones Didácticas de Brousseau (1997), debían evaluarlo y reflexionar sobre él.

Para el conjunto numérico N y  Z: los profesores hicieron la construcción utilizando clases de equivalencia.

Para el conjunto numérico Q y R: utilizaron sucesiones de Cauchy.

Para el conjunto R: utilizaron los decimales periódicos y no periódicos con la regleta.

 

Fase de evaluación

 

En esta fase, los profesores mostraron el desarrollo de las clases a la investigadora principal, las dificultades y las fortalezas encontradas tanto para ellos como para sus alumnos. Así mismo, se mostraron videos de clases grabadas, las crónicas de los observadores participantes desde el aprendizaje de los alumnos y desde la enseñanza.

 

Fase de reflexión

 

Una vez pasadas las fases anteriores, los profesores dialogaron con la investigadora principal y entregaron un informe sobre las crónicas de clases. En estas narraciones profesionales dialogadas y en los informes, los profesores expresaban (algunas transcripciones de la investigadora principal y tomadas de los informes de los profesores):

a.       “Algo muy interesante y curioso ocurrió en el momento de la representación de Z, los alumnos lo hicieron así: {-∞,…,-3,-2,-1,0, 1, 2,…∞}, los alumnos utilizaron el infinito como objeto”.

b.      “Los alumnos ubicaron en la recta real √44 entre 6,6 y 6,7 utilizando primero la notación:

       6 < √44 < 7 luego   6,6 < √44 < 6,7  luego  6,63 < √44 < 6,64  y 

        6,63 < 6,633249..<6,64”

c.       “La docente al representar Z  en la recta, ubicó el cero e indicó a los alumnos que a la izquierda de cero representaríamos los enteros negativos y a la derecha los enteros positivos, destacando que el conjunto de los números enteros es un conjunto infinito ya que al escoger un número entero en la recta, siempre encontraremos un sucesor e indicando que los puntos suspensivos sugerían que siguen indefinidamente, dejando bien claro lo que es un conjunto infinito”.

d.      “...la actividad se ejecutó en un contexto rico en participación por parte de los alumnos... sin embargo, se presentaron ciertos problemas al dividir y obtener la fracción decimal y, por tanto, al obtener la serie geométrica de la sucesión 0,3; 0,03; 0,003,..., por lo que consideramos explicar cómo obtener la fracción decimal... Por lo demás consideramos que fue muy provechoso construir el conjunto Q con sucesiones de Cauchy pues cuánto ignorábamos como profesor lo referente a esta construcción. Además lo enriquecedor de inducir en el alumno el por qué Q es un conjunto infinito, finalidad del guión de clase”.

 

De las reflexiones realizadas por los profesores, surgieron hipótesis de investigación formuladas para poder realizar planes de acción y mejorar con ello sus prácticas, y de las reflexiones de la investigadora principal, surgieron hipótesis de investigación acerca de la importancia de incorporar a los docentes activos como coinvestigadores, pues asumen la triada teoría-praxis-investigación como un medio de generar conocimiento acerca de la enseñanza.

 

Culminadas las cuatro fases del primer ciclo de la investigación acción técnica, la investigadora inicia conjuntamente con sus coinvestigadores un segundo ciclo, pero esta vez con una primera fase: 1)La diagnosis, la cual consistió en aplicar un cuestionario contentivo de 4 preguntas referentes a las concepciones de los profesores sobre el infinito matemático. Las respuestas dadas por los 15 profesores se muestran a continuación:

 

 

 

1)Dado los siguientes conjuntos compárelos y responda: a) Los números naturales y los enteros pares. ¿Hay una bisección? ¿Son iguales?	Si (15)	a)Aunque no lo parezca, cada punto de los enteros pares pueden ponerse en correspondencia uno a uno con un natural, por lo tanto tienen la misma cardinalidad:  0...2  1...4  2...6 b) Sí, pueden hacerse infinitas correspondencias c) Sí, puedo establece una bisección tal: x→f(x) = 2x por lo tanto, tienen el mismo número de elementos. Son iguales. d) Sí, aún más, N y Z son iguales pues puedo establecer la biyección      f(n)=   -n/2 si n es par   y  (n + 1 ) si n es impar                                                   2 e) Ambos son infinitos, son iguales.
2) ¿Es 0,999... = 1?	Sí (5)         Sí (4)   Sí (2) No (4)	a)  x = 0,9...   10x = 9,9...    10x = 9,9                                              –x  =  –0,9                                                              9x   =  9                                                     x=  9  = 1                                                         9 b) Sí, se puede demostrar por sucesiones de Cauchy a)      Sí, por aproximación b)      No, le falta un pedacito para llegar a 1

 

 

3) Cuál crees que es el valor de la siguiente suma? Explica tu respuesta. 1 + +  +  + + …	El valor es a/b (1)     El valor    es 2 (8)                 El valor es 1 (1)     Es infinita (4) Omitida ( 1)	31/16  según la suma de diferentes denominadores.     Es 2 pues 1 + 0,5 + 0,25 +… es 2 Es 2, ya que 1,9999... = 2 Es una progresión geométrica de razón ½ Luego    1 – 1(1/2)n    = 1 =  2      1-   ½           1/2                                                                       Es casi 2 pues falta un infinitesimal para llegar a 2   Es 1 ya que 1 +  lim        1   =  0                             n→ ∞   n                     Es infinita
4) a) ¿Son infinitos los conjuntos N, Q y R?    Explica                                 b) ¿Es R equipolente a N? Explica	Sí ( 1)       Sí ( 1 )     Sí (10)                     Si (2)     No (10)           Si (4)       Omitida (1)	*N y Q son infinitos porque no son finitos y R más infinito que los anteriores, porque contiene otros conjuntos infinitos. *Porque se pueden establecer biyecciones entre N y Q  y R es infinito no numerable ya que no se puede establecer una bisección entre N y R. *Porque puedo tomar subconjuntos propios de N, por ejemplo los pares y establecer una biyectividad entre ellos y N. Luego N es infinito.  De la misma manera Q es infinito ya que N es subconjunto de Q y puedo establecer biyectividad entre ellos. Y  R es infinito por la misma razón, puedo establecer correspondencia entre R y el intervalo (0,1). R tiene una cardinalidad mayor que todos los conjuntos infinitos anteriores.   Todos son infinitos.   *La cardinalidad de N es  א  al igual que la de Q pero R es más infinito que ellos, es no numerable, no se puede poner en correspondencia uno a uno con N *No, ya que R no se puede poner en correspondencia con N. N tiene cardinalidad  א y R tiene cardinalidad C. *No *Si. Se pueden relacionar. N es subconjunto propio de R  Son ambos infinitos.

 

 

Los resultados se orientaron en dos direcciones utilizando la estrategia de las comparaciones constantes: a) La influencia de los modelos en nuestro razonamiento en el dominio del infinito matemático. b) La persistencia e impacto de tales modelos en individuos entrenados en matemática, concientes de la naturaleza abstracta del objeto matemático: infinito

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Conclusiones

 

En virtud de los profundos cambios en la enseñanza de las matemáticas y por los momentos que se viven hoy en cuanto a experimentación en este campo, se deducen de este trabajo, las siguientes conclusiones:

1.      Promover la investigación-acción en Educación Matemática, pues es una forma de entender la enseñanza y no solo una manera de investigar, debe ser un proceso de investigación social, en el cual todos los participantes estén implicados en la toma de decisiones.

2.      Proveer cursos de actualización  a los docentes de matemática en ejercicio sobre  los conjuntos infinitos como un paso al infinito “actual”  de manera que la transición a la matemática de educación superior en conceptos como límite, derivada e integral no cause conflictos cognitivos o incoherencias.

3.      Replicar la experiencia en otros grados y modalidades del sistema educativo venezolano.

4.      La estrategia desarrollada en la unidad de aprendizaje sobre los conjuntos infinitos y finitos logró que diez de  los profesores llegaran a adquirir intuiciones consistentes con la teoría cantoriana aprendida. Sin embargo, cinco de los 15  profesores conservaban los modelos de razonamiento que poseían antes de comenzar la instrucción y dos presentaban incoherencias en sus respuestas, resaltando la ideología y los modelos tácitos que cada uno tiene como docente.

5.      Replicar la experiencia a fin de desarrollar medios que permitan medir las intuiciones de los estudiantes sometidos a la estrategia “El paso del infinito potencial al infinito “como un todo” para la comprensión de la construcción de los conjuntos infinitos” y  el paso al límite entre otros conceptos matemáticos.

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Referencias Bibliográficas

 

Arrigo, G. y D’Amore, B. (1998). Lo veo pero no lo creo: Obstáculos epistemológicos y didácticos para la comprensión del infinito actual .Educación Matemática Vol.11 p 5-24

 

Brousseau, G. (1997). Theory of Didactical Situations in Mathematics. En Balacheff, N. y col (Eds) Kluwe Academic Publishers.

 

Carr, W. y Kemmis, S. (1988). Teoría Crítica de la Enseñanza. La investigación acción en la formación del profesorado. Ediciones Martínez Roca. España.

 

Fischbein, E. (1998). Tacit Models and Infinity. Educational Studies in Mathematics.(48) 309-329

 

Garbin S. y Azcárate C. (1999). Esquemas conceptuales e incoherencias  en relación con el infinito actual. Educación Matemática Vol. 12 p. 5-18

 

Goetz, J. y LeCompte, M. (1988). Etnografía y diseño cualitativo en investigación educativa. Madrid: Morata

 

Habermas, J. (1971). Conocimientos e intereses. Madrid: Taurus

 

Lokpez de G., H. (2001). El Pensamiento Reflexivo. En: Cambiando a través de la Investigación Acción Participativa. Caracas: Ediciones Comala.com, pp. 41-46.

 

Mora, D. (2002). Didáctica de las Matemáticas en la educación venezolana. Caracas: EBUC.

 

Ortiz, J. (1994). El concepto de Infinito. Boletín Vol. I, Nº 2. Asociación Matemática Venezolana.

 

Tirosh, D. (1991). The role of students intuitions of infinity in teaching the cantorian theory. En Advanced Mathematical Thinking. Edited por Tall, D. Mathematics Education Library.

 

Valdivé, C. (2003). Visualización del Infinito Matemático. Ponencia presentada en Decimoséptima reunión Latinoamericana de Matemática Educativa. Chile.

 

Zippin, L (1996). Usos del Infinito. Madrid: Editorial Euler.

Equisangulo Revista Iberoamericana de Educación Matemática Facultad de Humanidades y Educación Universidad de Los Andes Mérida-Venezuela http://www.actualizaciondocente.ula.ve/equisangulo/ equisangulo@ula.ve