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COMPETENCIAS MATEMÁTICAS DEL NIÑO DE LA I Y II ETAPA DE EDUCACIÓN BÁSICA
Castro de Bustamante, Jeannett
Universidad de Los Andes -NURR
Táchira - Venezuela
Email: jeannettcastro@hotmail.com
Resumen
Existen diversas explicaciones sobre los aspectos esenciales que caracterizan el pensamiento y el modo de aprender de los alumnos; y ciertamente, también muchos modos en los que los docentes podemos realizar efectivamente nuestra tarea. Sin embargo, sería escaso su aporte al proceso de enseñanza de la Matemática, sin la apropiación adecuada de los principios que involucran. De allí la necesidad de conocer y comprender algunos aspectos epistemológicos que describen las competencias matemáticas básicas que deben desarrollar los niños de la I y II Etapa como producto de su aprendizaje y de nuestra acción pedagógica de enseñanza en el área de Matemática.
El dominio de las bases que determinan un sistema de numeración, la ejecución de operaciones matemáticas escritas, el desarrollo de las habilidades de cálculo mental-oral y el desarrollo de los principios de Geometría, constituyen, por una parte los marcos lógico-matemáticos fundamentales que han de servir para estructurar el futuro pensamiento abstracto- formal y por la otra, las competencias que busca desarrollar la Matemática escolar de la I y II Etapa de Educación Básica.
Palabras Clave: competencias matemáticas, aprendizaje, sistema de numeración, cálculo mental-oral, cálculo escrito, principios de geometría
Introducción
Como es conocido, el ritmo de aprendizaje está en relación directa con la capacidad de aprender de los alumnos y requiere de condiciones adecuadas de quien aprende. Estas condiciones se refieren a los aspectos fisiológicos, emocional, social e intelectual, y resulta imprescindible que el trabajo del docente se desenvuelva con base en un profundo conocimiento teórico-práctico de todas estas condiciones.
La creciente influencia desplegada por el “constructivismo” tanto en el campo psicológico como epistemológico, ha generado un cambio en la “visión” del aprendizaje de los alumnos. Existen por tanto, diferentes explicaciones sobre los aspectos esenciales que caracterizan el pensamiento y el modo de aprender de los alumnos; y ciertamente, también muchos modos en los que podemos trabajar efectivamente en la clase de Matemática en la I y II Etapa de Educación Básica. Sin embargo, sería escaso su aporte al proceso de enseñanza de la Matemática, si el docente no se apropia de ellos y hace suyos los principios que involucran. Desde esta perspectiva, se desataca la necesidad de conocer y comprender algunos aspectos epistemológicos que describen las competencias matemáticas básicas que deben desarrollar los niños de la I y II Etapa como producto de su aprendizaje y de nuestra acción pedagógica de enseñanza en el área de Matemática.
Competencias matemáticas de los niños en la I y II Etapa de Educación Básica.
En general, el proceso de enseñanza de la Matemática aparece enmarcado por orientaciones de carácter epistemológico, psicológico, sociológico y pedagógico. La epistemología que explica el proceso de descubrimiento y construcción del pensamiento matemático, de mano de la psicología, explica la analogía existente entre las estructuras matemáticas y las estructuras elementales de la inteligencia. Fundamentado en ello, la estructuración del contenido matemático de la I y II Etapa de Educación Básica, busca desarrollar en los niños el dominio de competencias en matemáticas, conciernes a la capacidad para analizar, razonar y comunicar eficazmente sus ideas al tiempo que se plantean, formulan, resuelven e interpretan problemas matemáticos en una variedad de contextos. Así, considerando la competencia matemática como:
“…la capacidad de un individuo para identificar y entender el rol que juegan las matemáticas en el mundo, emitir juicios bien fundamentados y utilizar las matemáticas en formas que le permitan satisfacer sus necesidades como ciudadano constructivo, comprometido y reflexivo”(OCDE/ PISA, 2003; disponible en www.eduteka.org/Pisa2003Math.php)
Esta definición de competencia o “alfabetismo” matemático de OCDE/PISA es coherente con los fundamentos de la teoría de la “estructura” y el uso del lenguaje, que se ha venido consolidando con la tendencia de estudios de carácter socio-cultural. La matemática es un lenguaje, y como tal implica el manejo y comprensión de términos, signos, símbolos, procedimientos, habilidades,…además de su apropiada aplicación para resolver problemas en variedad de contextos, lo que favorece la interpretación y la relación con el mundo. Así el desarrollo de las competencias matemáticas se asume como un fenómeno tanto individual como social y cultural, que tiene como escenario de desarrollo “el aula” y como agente consolidador “la acción docente”.
Según Niss (1999), es posible identificar ocho competencias matemáticas específicas: pensar y razonar; argumentar; comunicar; modelar; plantear y resolver problemas; representar; utilizar lenguaje y operaciones simbólicas, formales y técnicas; utilizar ayudas y herramientas. El contenido típico de los currículos escolares en matemática, implican estas competencias; sin embargo, podemos considerar que en ellos la formación de las nociones básicas responsables de estructurar el pensamiento matemático de los niños en la I y II Etapa de Educación Básica y el alcance de las correspondientes competencias, se estructuran en función a cuatro a cuatro grandes sectores: (Castro, 2003)
Existe consenso entre distintos autores, en que estos aspectos configuran en el niño, los marcos lógico-matemáticos fundamentales que han de servir para estructurar el futuro pensamiento abstracto-formal y representan a su vez, las competencias que busca desarrollar la Matemática escolar de la I y II Etapa de Educación Básica.
a) Sistema de Numeración Decimal.
Los contenidos de la matemática de la I y II Etapa de Educación Básica, involucran el desarrollo de los principios constitutivos del Sistema de Numeración de Base Diez, especialmente las relaciones y las operaciones entre ellos. Se trabajan los números y los numerales desde la perspectiva de las cantidades discretas y del valor de las colecciones. No se considera en esta etapa, el trabajo con cantidades continuas; por lo tanto no se aborda “la medida” propiamente dicha. Es precisamente esta caracterización la que nos permite partir del procedimiento de “conteo”; “El ser humano posee, de manera natural, el sentido del número que se expresa como respuesta a una necesidad práctica de su vida cotidiana”.(Castro, 2003).
Desde la perspectiva de la matemática, la comprensión y aplicación de un sistema de numeración requiere el manejo de la composición aditiva y multiplicativa (directa e inversa) y de las relaciones de orden y equivalencia (Lakoft y Nuñez,2000), así, los niños de la I y II Etapa deben aprender a escribir/leer numerales y a operar con ellos; es decir, deben comprender y manejar el proceso de numeración. Este sentido, representa la base del desarrollo del pensamiento matemático; pero, ¿cómo se llega al proceso de numeración?.
Tal como se ha señalado para comprender el proceso de numeración debe partirse del proceso de contar. Este proceso surge como resultado del establecimiento de la relación 1 a 1 entre los elementos de un conjunto cualquiera y el conjunto de los números naturales. El proceso no es tan sencillo como parece, ya que es producto de la construcción de las diferentes clases de conjuntos, constituidas en función de una relación de equivalencia establecida entre ellos. De esta manera, se configura el aspecto cardinal del número, que nos da la proporción numérica de los conjuntos y que resulta de la clasificación; sin embargo, un número no sólo expresa la propiedad numérica de un conjunto sino que también lleva implícita una propiedad o relación de orden, es decir, el número representa un rango en una serie. La seriación constituye entonces, la ordenación de las diferentes clases de conjuntos equivalentes que se han formado. En otras palabras, para alcanzar el proceso de numeración, el niño atraviesa diferentes etapas desde el punto de vista cognitivo en el estricto orden de: formación de clases en primer lugar, establecimiento de series, para llegar luego a la abstracción del concepto de número (el hecho de que un niño cuente no quiere decir que domine el concepto de número). Entonces, teniendo la noción de número se puede llegar a comprender el Sistema de Numeración; luego ¿qué es un Sistema de Numeración?
Un sistema de numeración tiene tres aspectos que lo definen: posee una serie de símbolos aceptados convencionalmente; establece un conjunto de reglas y normas para la construcción de cantidades y tiene un patrón de agrupamiento o base del sistema. El sistema de numeración universalmente conocido y utilizado, es el sistema de numeración decimal (de base 10) cuyo origen está muy ligado a nuestra fisiología (10 dedos de las manos). "Contar con los dedos puede enlazar los aspectos cardinal y ordinal del número... nuestros dedos son un medio para pasar sin esfuerzo de un aspecto del número a otro" (Barody, 1994: 37)
Alcanzar el dominio de un sistema de numeración requiere de un proceso inductivo altamente intencionado que precisa de planificación y ejecución organizada debido a la gran cantidad de normas y reglas que impone su carácter posicional. Llegar pues, a su dominio implica un alto nivel de abstracción. El contar con los dedos constituye un claro indicio de la necesidad que tienen los niños de esta etapa de utilizar materiales concretos que refuercen la formación de conceptos matemáticos, tal como la noción de número. En la medida en que el niño avanza hacía el período de operaciones formales se desliga del material concreto; sin embargo, el desarrollo del proceso de contar no se detiene y se hace necesario recurrir a reglas y normas para la construcción de cifras, ya que las cantidades crecen y el material concreto se vuelve inadecuado. Tal como plantea Resnick (1990), un proceso tan primitivo como el “conteo”(composición aditiva), permite al niño de estas etapas resolver casi todos los problemas que se le presentan; el docente debe promover le evolución de estos procedimientos para pasar a “composiciones multiplicativas” que favorezcan el tránsito de los niños de su período de operaciones concretas al de operaciones formales.
Cabe recordar que en estas etapas los niños deben haber alcanzado las nociones matemáticas de clasificación, seriación y número; conservación de número, de líquido, de peso o masa y de volumen -lo que generalmente ocurre hacía el final del período-. Estas nociones son indispensables para la comprensión del sistema de numeración, el cual a su vez se convierte en pieza clave para el desarrollo de efectivos procedimientos de cálculo. Ante estos referentes, nos preguntamos ¿Qué debe saber un niño de la I y II Etapa de Educación Básica en relación con el sistema de numeración decimal? Indudablemente que a este nivel el niño debe dominar tanto la lectura como la escritura de cantidades. Sin embargo, la realidad nos muestra que incluso los niños que están al final del período, presentan frecuentes errores en este sentido. Muchos de estos errores pudieran comprenderse e incluso justificarse, atendiendo a las siguientes consideraciones, que de alguna manera reflejan las dificultades intrínsecas al carácter y naturaleza de la Matemática: (Cuadernos de Pedagogía. Leer y Escribir. Monográfico Nº 216. Julio-Agosto 1993. Barcelona: Fontalba)
b) El Cálculo Escrito
Los procedimientos de cálculo escrito dependen de la fidelidad con que se sigan una serie de pasos, normas, reglas y procedimientos que pueden ser expresados a través de la escritura. En esta clase de procedimientos se hace necesario recurrir a dos tipos de recursos:
Las operaciones básicas de cálculo, representan la manipulación simbólica de las cantidades a través de algoritmos que, aplicados fielmente conducen al cálculo exacto. Dichos procedimientos algorítmicos implican el cálculo de derecha a izquierda (excepto para la división) y la aplicación de un conjunto de reglas como el acarreo y el préstamo entre columnas, que se aplican de manera indistinta tanto para las unidades, decenas o centenas sin tomar en consideración el valor relativo de los símbolos.
En el caso de cálculos que no comportan acarreo o préstamo, la operación simplemente se repite hasta que ya no queden más cifras. Cabe destacar que en la medida en que se aplican y dominan las reglas que gobiernan estas operaciones, se amplía la posibilidad para el niño de aplicarlas al abordar problemas mayores. Los procedimientos de cálculo escrito (algoritmos), por ser patrones generales preestablecidos, son susceptibles de ser aprendidos por parte de los niños de manera casi automática y ser incluso aplicados sin haber comprendido los razonamientos subyacentes propios de los órdenes de unidades de base diez. Knuth, en relación al carácter regular y hermético de los algoritmos los define como
"...un conjunto de reglas para obtener un determinado resultado a partir de datos específicos y mediante pasos descritos con tal precisión que podrían ser ejecutados por máquinas. (en Carraher, Carraher y Schliemann, 1995: 61).
Un ejemplo de ello, pudiera estar representado por lo que ocurre en adiciones como la que se ilustra, operación en la cual el razonamiento subyacente de que lo que se acarrea, no es una unidad sino una decena y una centena respectivamente; esto suele no recalcarse como tal y simplemente se acostumbra a decir "llevo una" sin aclarar si son unidades, decenas o centenas. Estas lagunas pueden generar algunas dificultades en los niños a la hora de realizar procedimientos de cálculo escrito. Tal como lo señala Barody (1994) en su libro "El Pensamiento Matemático en los Niños", dichas dificultades se caracterizan por:
c) El Cálculo Mental-Oral
Comenzaremos este apartado con un ejemplo: “Un niño de once años (al que se le pide que realice una operación mentalmente, pero que exprese en voz alta los pasos que hace) resuelve la operación 549-225, de la siguiente forma: "A 49 le quito 20, me quedan 29; o sea 529. A 29 le quito 5, me quedan 24; o sea 524 y a 500 le quito los 200 que me faltan, entonces me quedan en total 324”. Este procedimiento, transcrito textualmente, evidencia el dominio del sistema de numeración decimal y la comprensión de las operaciones parciales que lo conducen a un resultado exacto, aún cuando no ha aplicado el algoritmo usual para resolver esta sustracción.
Entendiendo el cálculo mental como "... el conjunto de procedimientos que, analizando los datos por tratar, se articulan sin recurrir a un algoritmo preestablecido, para establecer resultados exactos o aproximados” (Parra y Saiz,1994: 122), se evidencia la razón de ser de lo realizado por el niño del ejemplo, en cuanto a que no utilizó el algoritmo usual sino que realizó una serie de operaciones parciales (aproximaciones) apoyadas en combinaciones numéricas familiares para él, para llegar luego al resultado exacto.
En concordancia a la definición dada, el cálculo mental no excluye la posibilidad de utilizar el recurso de la escritura especialmente para cálculos intermedios de la operación, sin embargo esto no significa que disminuya su carácter de operación mental. El cálculo mental se fundamenta en las reglas propias del sistema de numeración decimal, en las propiedades de las operaciones básicas y en las combinaciones numéricas familiares a la experiencia del niño.
Es común asociar cálculo mental con rapidez en el cálculo; sin embargo, la rapidez no debe ser el elemento que prive en situaciones didácticas, sino más bien el cálculo que, en función de la combinación numérica y la situación planteada, se selecciona como procedimiento singular adecuado a dicha situación. Tales procedimientos destacan la flexibilidad en la búsqueda de una respuesta aproximada o exacta de manera heurística, mediante procedimientos básicos como: (Carraher et al, 1995)
a.- La descomposición de las cantidades planteadas en el problema, en cantidades menores
b.- El agrupamiento repetido, en el que se obtiene la solución mediante pasos, trabajando con cantidades iguales o mayores que aquellas mencionadas en el problema.
La heurística de la descomposición muestra el dominio que se posee del sistema numérico decimal. Mediante este procedimiento se busca reducir los números a otras cantidades que tengan cero en uno o más de sus dígitos. En nuestro ejemplo el niño hizo la descomposición de 225 en (200+20+5) y trabajó con estas cantidades que resultan ser más familiares para él y que además no lo recargan mentalmente, pues opera de manera sucesiva con los diferentes lugares decimales. Por otra parte, el agrupamiento sucesivo que se presta más a situaciones de multiplicación y división, está constituido por una serie de sumas o restas sucesivas para hacer la operación más sencilla que la planteada en el problema original.
En el caso de la multiplicación, la heurística de la repetición se presta para calcular subtotales mediante "operaciones atajos" como por ejemplo: al realizar 15 x 4, bastaría sumar 15 + 15 = 30 y luego sumar 30+30= 60; de esta manera se obtiene el resultado relativo a 15 x 4. De igual forma la división, puede convertirse en un proceso sencillo, al ser desarrollada como restas sucesivas o por factoreo; por ejemplo al resolver 200 / 4, se calcula 200 / 2 = 100 (más familiar) y luego 100 / 2 = 50.
Cabe destacar que la técnica del cálculo mental, es mucho más flexible que el cálculo escrito, y brinda mayores posibilidades en la manipulación de numerales para transformarlos y hacerlos más manejables. De igual forma este tipo de procedimiento evidencia y pone en práctica el dominio y comprensión del número y del sistema de numeración decimal, a la par de favorecer la determinación de respuestas exactas (cálculo mental) o hacer cálculos aproximados (estimaciones). Este último aspecto, refleja la importancia de esta técnica, dada la repercusión que tiene en nuestra vida cotidiana.
"El cálculo mental y aproximado también forman parte de la resolución de problemas cotidianos...Las estimaciones son importantes en situaciones cotidianas en las que no hacen falta las respuestas exactas, o éstas son difíciles de obtener o hasta imposible de calcular” (Trafton en Barody, 1994: 219)
d) Noción de Espacio.
La noción de espacio es una de las categorías básicas correspondientes al desarrollo de la inteligencia en el niño. La estructuración de esta noción aún cuando está presente desde el nacimiento, cobra fuerza en la medida en que el niño progresa en la posibilidad de desplazarse y de coordinar sus acciones (espacio concreto), incorporando el espacio circundante a estas acciones como una propiedad de las mismas. En general, el concepto de espacio se obtiene sin mayores contratiempos; sin embargo, en algunas ocasiones se pueden presentar dificultades derivadas de lagunas durante nuestra educación, ya que tradicionalmente se ha hecho énfasis en la geometría Euclidiana, es decir en el espacio de distancias y medidas, descuidando los otros dos aspectos del “espacio total”: el topológico y el proyectivo (por ello es necesario señalar algunos datos de las etapas previas a las que corresponde este trabajo).
Toda una discusión ha sido establecida por largo tiempo entre distintos autores, con relación al orden en que se va desarrollando la noción de espacio; sin embargo, de acuerdo con Piaget es una noción que se construye paulatinamente en el niño siguiendo el orden que parte de las experiencias: topológicas, proyectivas y Euclidianas, contrariamente a como históricamente fueron formalizadas las respectivas geometrías.
En una primera etapa, el espacio del niño se reduce a las posibilidades que le brinda su capacidad motriz (espacio perceptual), razón por la cual durante largo tiempo el centro de su espacio lo constituye su cuerpo. Durante esta etapa priva el carácter "concreto del espacio", por lo que no se halla suficientemente interiorizado, para ser sometido a operaciones mentales. Aproximadamente a partir de los dos años, las relaciones espaciales más sencillas se expresan mediante palabras como: arriba, abajo, izquierda, derecha, encima, debajo, más arriba, más abajo, delante, detrás; dichas expresiones contribuyen grandemente a alcanzar las nociones espaciales. Este tipo de experiencias, expresadas mediante el reconocimiento y representación gráfica de acercamientos, separación, orden, entorno y continuidad, representan experiencias de carácter “Topológico”, en las cuales las transformaciones sufridas por una figura original son tan intensas y generales que alteran ángulos, longitudes, rectas, áreas, volúmenes, puntos, proporciones; sin embargo algunas relaciones o propiedades geométricas permanecen invariables, por ejemplo: puntos interiores y exteriores a una figura cerrada que cambia de forma, secuencia de los puntos de su contorno. Las relaciones topológicas permiten la constitución de una geometría del objeto, en singular. En esta etapa el niño no puede distinguir un círculo de un cuadrado porque ambas son figuras cerradas, pero si las puede diferenciar de la figura de una herradura. Posteriormente logra distinguir líneas curvas de rectas y figuras largas de cortas, así como también diferenciar el espacio interior y exterior de una frontera dada o determinar posiciones relativas al interior de un orden lineal.
Alrededor de los seis años aproximadamente, los conceptos topológicos comienzan a transformarse en conceptos proyectivos que le permiten la construcción de una geometría del espacio exterior al niño, en otras palabras, la descentración le permite establecer la representación de su espacio circundante en la que los ejes adelante-atrás, izquierda-derecha dejan de ser absolutos, es decir van siendo coordinados en la medida en que se efectúan operaciones mentales que permiten al niño ver los objetos desde otro punto de vista; aspecto que se favorece con la reversibilidad del pensamiento que se adquiere también en esta etapa. Así, las transformaciones proyectivas, permiten al niño visualizar los cambios que sufren ángulos y longitudes en la representación del objeto observado; por ejemplo al hacer un paisaje los árboles cada vez más pequeños, reflejan la profundidad y el alejamiento mediante los cambios en las longitudes y los ángulos que contienen, mientras que las líneas, puntos y proporciones permanecen invariables.
Paralelamente a los conceptos proyectivos, los conceptos topológicos se transforman también en conceptos Euclidianos, lo que equivale a decir que el niño comienza a percibir los objetos de su espacio exterior no como algo estático, sino como objetos móviles; por ejemplo, puede describir y dibujar la trayectoria del recorrido de un automóvil (no sólo su punto de partida y llegada); comprender la congruencia de un cuerpo al sufrir un cambio rígido (movimiento, rotación, traslado), conservando las propiedades de longitud, ángulos, áreas y volúmenes.
Según Piaget, la base del conocimiento Matemático se encuentra en el proceso reflexivo que el niño hace al accionar sobre los objetos de su entorno. En este sentido distingue las operaciones lógicas, que surgen de la manipulación de objetos discretos (clases y relaciones) y las operaciones infralógicas cuyo punto de partida, son las partes de un todo continuo (objeto o infraclase). De acuerdo con esto, las relaciones espaciales son de índole infralógica. Es en este aspecto, en el que se fundamenta el desarrollo de la capacidad del niño para representar la perspectiva de un cuerpo; posibilidad que se amplía a partir de los 9 años de edad. De igual forma, partir de los once años puede dibujar correctamente el desarrollo de un cubo, así como también operar mentalmente con figuras.
En síntesis, la organización de las primeras acciones transitivas y reversibles que se aplican a objetos reales o imaginarios y la posibilidad de descentraje que ocurre en la etapa de operaciones concretas, permiten al niño la construcción de su noción de espacio desde distintos puntos de vista. De acuerdo con ello, cabe resaltar la importancia que tienen la percepción, la intuición y las experiencias vividas por el niño en la configuración de sus conceptos espaciales.
BIBLIOGRAFIA
| Equisangulo http://www.actualizaciondocente.ula.ve/equisangulo/ |